网络流-最大流问题 ISAP 算法解释

ISAP 是图论求最大流的算法之一,它很好的平衡了运行时间和程序复杂度之间的关系,因此非常常用。

约定

我们使用邻接表来表示图,表示方法可以见文章带权最短路 Dijkstra, SPFA, Bellman-Ford, ASP, Floyd-Warshall 算法分析二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法的开头(就不重复贴代码了)。在下文中,图的源点(source)表示为 $ s $ ,汇点(sink)表示为 $ t $ ,当前节点为 $ u $ 。建图时,需要建立双向边(设反向的边容量为 $ 0 $)才能保证算法正确。

引入

求解最大流问题的一个比较容易想到的方法就是,每次在残量网络(residual network)中任意寻找一条从 $ s $ 到 $ t $ 的路径,然后增广,直到不存在这样的路径为止。这就是一般增广路算法(labeling algorithm)。可以证明这种不加改进的贪婪算法是正确的。假设最大流是 $ f $ ,那么它的运行时间为$ O\left(\ f\cdot \mid E\mid\right) $ 。但是,这个运行时间并不好,因为它和最大流 $ f $ 有关。

人们发现,如果每次都沿着残量网络中的最短增广路增广,则运行时间可以减为 $ O\left(\mid E\mid^2\cdot\mid V\mid\right)\ $ 。这就是最短增广路算法。而 ISAP 算法则是最短增广路算法的一个改进。其实,ISAP 的意思正是「改进的最短增广路」 (Improved Shortest Augmenting Path)。

顺便说一句,上面讨论的所有算法根本上都属于增广路方法(Ford-Fulkerson method)。和它对应的就是大名鼎鼎的预流推进方法(Preflow-push method)。其中最高标号预流推进算法(Highest-label preflow-push algorithm)的复杂度可以达到 $ O\left(\mid V\mid ^2 \sqrt{\mid E\mid}\right) $。虽然在复杂度上比增广路方法进步很多,但是预流推进算法复杂度的上界是比较紧的,因此有时差距并不会很大。

算法解释

概括地说,ISAP 算法就是不停地找最短增广路,找到之后增广;如果遇到死路就 retreat,直到发现$s$, $t$不连通,算法结束。找最短路本质上就是无权最短路径问题,因此采用 BFS 的思想。具体来说,使用一个数组$d$,记录每个节点到汇点$t$的最短距离。搜索的时候,只沿着满足$d[u]=d[v]+1$的边$u\rightarrow v$(这样的边称为允许弧)走。显然,这样走出来的一定是最短路。

原图存在两种子图,一个是残量网络,一个是允许弧组成的图。残量网络保证可增广,允许弧保证最短路(时间界较优)。所以,在寻找增广路的过程中,一直是在残量网络中沿着允许弧寻找。因此,允许弧应该是属于残量网络的,而非原图的。换句话说,我们沿着允许弧,走的是残量网络(而非原图)中的最短路径。当我们找到沿着残量网络找到一条增广路,增广后,残量网络肯定会变化(至少少了一条边),因此决定允许弧的$d$数组要进行相应的更新(顺便提一句,Dinic 的做法就是每次增广都重新计算$d$数组)。然而,ISAP 「改进」的地方之一就是,其实没有必要马上更新$d$数组。这是因为,去掉一条边只可能令路径变得更长,而如果增广之前的残量网络存在另一条最短路,并且在增广后的残量网络中仍存在,那么这条路径毫无疑问是最短的。所以,ISAP 的做法是继续增广,直到遇到死路,才执行 retreat 操作。

说到这里,大家应该都猜到了,retreat 操作的主要任务就是更新$d$数组。那么怎么更新呢?非常简单:假设是从节点$u$找遍了邻接边也没找到允许弧的;再设一变量$m$,令$m$等于残量网络中$u$的所有邻接点的$d$数组的最小值,然后令$d[u]$等于$m+1$即可。这是因为,进入 retreat 环节说明残量网络中$u$和 $t$已经不能通过(已过时)的允许弧相连,那么$u$和$t$实际上在残量网络中的最短路的长是多少呢?(这正是$d$的定义!)显然是残量网络中$u$的所有邻接点和$t$的距离加$1$的最小情况。特殊情况是,残量网络中$u$根本没有邻接点。如果是这样,只需要把$d[u]$设为一个比较大的数即可,这会导致任何点到$u$的边被排除到残量网络以外。(严格来说只要大于等于$\mid V\mid$即可。由于最短路一定是无环的,因此任意路径长最大是$\mid V\mid−1$)。修改之后,只需要把正在研究的节点$u$沿着刚才走的路退一步,然后继续搜索即可。

讲到这里,ISAP 算法的框架内容就讲完了。对于代码本身,还有几个优化和实现的技巧需要说明。

  1. 算法执行之前需要用 BFS 初始化$d$数组,方法是从$t$到$s$逆向进行。
  2. 算法主体需要维护一个「当前节点」$u$,执行这个节点的前进、retreat 等操作。
  3. 记录路径的方法非常简单,声明一个数组$p$,令$p[i]$等于增广路上到达节点$i$的边的序号(这样就可以找到从哪个顶点到的顶点$i$)。需要路径的时候反向追踪一下就可以了。
  4. 判断残量网络中$s, t$不连通的条件,就是$d[s]\ge\mid V\mid$ 。这是因为当$s, t$不连通时,最终残量网络中$s$将没有任何邻接点,对$s$的 retreat 将导致上面条件的成立。
  5. GAP 优化。GAP 优化可以提前结束程序,很多时候提速非常明显(高达 100 倍以上)。GAP 优化是说,进入 retreat 环节后,$u, t$之间的连通性消失,但如果$u$是最后一个和$t$距离$d[u]$(更新前)的点,说明此时$s, t$也不连通了。这是因为,虽然$u, t$已经不连通,但毕竟我们走的是最短路,其他点此时到$t$的距离一定大于$d[u]$(更新前),因此其他点要到$t$,必然要经过一个和$t$距离为$d[u]$(更新前)的点。GAP 优化的实现非常简单,用一个数组记录并在适当的时候判断、跳出循环就可以了。
  6. 另一个优化,就是用一个数组保存一个点已经尝试过了哪个邻接边。寻找增广的过程实际上类似于一个 BFS 过程,因此之前处理过的邻接边是不需要重新处理的(残量网络中的边只会越来越少)。具体实现方法直接看代码就可以,非常容易理解。需要注意的一点是,下次应该从上次处理到的邻接边继续处理,而非从上次处理到的邻接边的下一条开始。

最后说一下增广过程。增广过程非常简单,寻找增广路成功(当前节点处理到$t$)后,沿着你记录的路径走一遍,记录一路上的最小残量,然后从$s$到$t$更新流量即可。

实现

int source;         // 源点
int sink;           // 汇点
int p[max_nodes];   // 可增广路上的上一条弧的编号
int num[max_nodes]; // 和 t 的最短距离等于 i 的节点数量
int cur[max_nodes]; // 当前弧下标
int d[max_nodes];   // 残量网络中节点 i 到汇点 t 的最短距离
bool visited[max_nodes];

// 预处理, 反向 BFS 构造 d 数组
bool bfs()
{
    memset(visited, 0, sizeof(visited));
    queue<int> Q;
    Q.push(sink);
    visited[sink] = 1;
    d[sink] = 0;
    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front();
        Q.pop();
        for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix) {
            Edge &e = edges[(*ix)^1];
            if (!visited[e.from] && e.capacity > e.flow) {
                visited[e.from] = true;
                d[e.from] = d[u] + 1;
                Q.push(e.from);
            }
        }
    }
    return visited[source];
}

// 增广
int augment()
{
    int u = sink, df = __inf;
    // 从汇点到源点通过 p 追踪增广路径, df 为一路上最小的残量
    while (u != source) {
        Edge &e = edges[p[u]];
        df = min(df, e.capacity - e.flow);
        u = edges[p[u]].from;
    }
    u = sink;
    // 从汇点到源点更新流量
    while (u != source) {
        edges[p[u]].flow += df;
        edges[p[u]^1].flow -= df;
        u = edges[p[u]].from;
    }
    return df;
}

int max_flow()
{
    int flow = 0;
    bfs();
    memset(num, 0, sizeof(num));
    for (int i = 0; i < num_nodes; i++) num[d[i]]++;
    int u = source;
    memset(cur, 0, sizeof(cur));
    while (d[source] < num_nodes) {
        if (u == sink) {
            flow += augment();
            u = source;
        }
        bool advanced = false;
        for (int i = cur[u]; i < G[u].size(); i++) { 
            Edge& e = edges[G[u][i]];
            if (e.capacity > e.flow && d[u] == d[e.to] + 1) {
                advanced = true;
                p[e.to] = G[u][i];
                cur[u] = i;
                u = e.to;
                break;
            }
        }
        if (!advanced) { // retreat
            int m = num_nodes - 1;
            for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix)
                if (edges[*ix].capacity > edges[*ix].flow)
                    m = min(m, d[edges[*ix].to]);
            if (--num[d[u]] == 0) break; // gap 优化
            num[d[u] = m+1]++;
            cur[u] = 0;
            if (u != source)
                u = edges[p[u]].from;
        }
    }
    return flow;
}
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